Contoh (Makalah Tentang Matrik)

BAB I

PERBEDAAN METODE FLEKSIBILITAS DAN METODE KEKAKUAN

3.1 Metode Fleksibilitas dan Metode Kekakuan
Secara umum analisis struktur dapat dilakukan berdasarkan atas 3 hal berikut ini.
a. Menentukan hubungan antara aksi (action) dan deformasi (deformation) yangdikenal sebagaiconstitutive laws.
b. Pertimbangan kinematis dari struktur yang terdeformasi (compatibility).
c. Keseimbangan (equilibrium)antara gaya-gaya yang bekeda(applied forces)dan gaya-gaya dalam (internal actions).
Dalam analisis struktur dikenal 2 metode utama, yaitu:a :
a. Metode Kekakuan (Stiffness Method/ Displacement Method).
Pada metode ini displacements, translasi dan rotasi merupakan variabel utama yangtidak diketahui, dan dicari terlebih dahulu. Respon struktur lainnya, yaitu reaksitumpuan dan gaya-gaya dalam (gaya aksial, momen lentur, momen torsi, dan gayageser) akan diselesaikan kemudian. Secara berurutan, persamaan-persamaan yangdigunakan dalam formulasi adalah persamaan aksi-deformasi, persamaankeseimbangan, dan persamaan kompatibilitas.
b. Metode Fleksibilitas(Flexibility Method / Force Method).
Gaya (reaksi tumpuan ataupun gaya-gaya dalam) merupakan variabel utama yangtidak diketahui, dan dicari lebih dahulu. Sedangkan displacement dapat diperolehpada tahap berikutnya berdasarkan gaya-gaya yang telah diperoleh dari stepsebelumnya. Secara berurutan, persamaan yang digunakan dalam formulasi adalahpersamaan aksi-deformasi, persamaan kompatibilitas, dan persamaan keseimbangan.
Dari kedua metode tersebut di atas, metode kekakuan lebih populer untuk dipelajari dan dikembangkan karena formulasi dan prosedur hitungan yang dihasilkanrelatif jauh lebih sistematis sehingga sangat sesuai untuk diprogramkan dalam bahasakomputer. Berikut ini diuraikan secara rinci salah satu bentuk dari metode kekakuanyang banyak digunakan dalam praktek oleh para praktisi, yaitu Metode KekakuanLangsung (Direct Stiffness Method).

3.2 Metode Kekakuan-Langsung
Metode ini didasarkan pada konsep kekakuan (stiffness), dan secara berurutanprosedur hitungan yang harus ditempuh dalam implementasi metodekekakuan - langsung diuraikan secara singkat sebagai berikut ini.
1. Semua kekakuan elemen (dalam bentuk matrix kekakuan) dievaluasi sesuai denganhubungan antara aksi (action) dan (deformasi deformation) dengan referensikoordinat lokal elemen tersebut.
2. Matrix kekakuan elemen ditransformasikan ke sistem koordinat global.
3. Matrix kekakuan elemen-elemen (dalam koordinat global) disuperposisikan (dengan mempertimbangkan kompatibilitas) menjadi matrix kekakuan struktur
.4. Berdasarkan pembebanan yang bekerja, disusun vektor gaya dengan referensikoordinat global
5. Kondisi batas displacement pada titik-titik nodal tumpuan maupun kondisi batasgaya pada titik-titik nodal bebas diformulasikan dalam bentuk vektor displacementdan vektor gaya. Selanjutnya dilakukan kondensasi statis (staticcondensation) untuk memperoleh matrix kekakuan (stiffness matrix) struktur tereduksi.
6. Matrix kekakuan struktur yang telah tereduksi tersebut memberikan persamaankeseimbangan struktur, yang apabila diperoleh solusinya akan menghasilkandisplacements di setiap titik nodal. Selanjutnya, reaksi di setiap titik nodal tumpuandapat diperoleh.
7. Tahap terakhir yang dilakukan adalah penghitungan gaya-gaya dalam dantegangan-tegangan dalam untuk setiap elemen.
Implementasi dari prosedur tersebut di atas, secara rinci akan diperjelas denganmengaplikasinya dalam analisis berbagai jenis idealisasi struktur, meliputi : (a) strukturrangka batang 2-dimensi (planetruss), (b) struktur rangka batang 3-dimensi (spacetruss), (c) struktur portal 2-dimensi (planeframe)dan struktur balok menerus, (d)struktur balok silang (grid system), (e) struktur balok menerus dengan tumpuan elastis,dan struktur portal 3-dimensi (space frame).
Anggapan-anggapan dasar yang digunakan dalam formulasi adalah :
• Bahan struktur berperilaku elastis-linier, sehingga hukum Hooke masih berlaku.
• Displacernent struktur dianggap "kecil" (relatif sangat kecil dibanding dimen-si/bentang struktur yang dianalisis), sehingga persamaan keseimbangan dapat ditulisberdasarkan geometri struktur sebelum terdeformasi
• Interaksi antara pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan
• Batang-batang (elemen-elemen) struktur bersifat prismatis dan terbuat dari bahanyang homogen.
3.2.1 Sistem Rangka Batang 2-Dimensi(Plane Truss)
Sumbu-sumbu X-Y adalah sistem koordinat global struktur yang nantinya diacuoleh sernua elemen. Meskipun tidak tergambar, sumbu-Z selalu tegak lurus bidangstruktur (menuju kita) sehingga membentuk sistem koordinat right handed. Sedangkansumbu-sumbu x-y adalah sistem koordinat lokal elemen yang hanya berlaku untuk elemen tersebut saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen(e) yang kutan.
Setiap elemen plane truss akan selalu memiliki dua titik nodal ujung. Salah satuujung elemen tersebut diberi notasi nodal i, dan ujung lainnya diberi notasi nodal j.Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i, dan arah positif sumbu-x lokal dibuat selaludari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut. Sumbu-y lokal dibuat tegak lurus sumbu-xsedemikian sehingga arah positif dari sumbu-z lokal akan searah dengan surnbu-Zglobal dan tegak lurus bidang struktur (bidang x-y).

Orientasi elemen secara global dapat clikenali melalu sudut α yang dibuat olehsumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan sumbu-X global dari struktur. Sudut α diberi tanda positif berdasarkan kaidah right handed system, yaitu diukur dari sumbu-Xglobal berputar menuju sumbu-x lokal elemen dengan poros sumbu-Z positif.
Matrix kekakuan elemen
Dengan mengenali sudut α dari setiap elemen tersebut, untuk tahap berikutnya,hubungan antara aksi dan deformasi dari elemen plane truss dapat diforrnulasikansecara umum (berlaku untuk semua elemen) dalam sistem koordinat lokalnya sebagaiberikut ini.

BAB II

KLASIFIKASI DARI MACAM-MACAM BENTUK STRUKTUR

Berbagai Macam Struktur Dan Idealisasinya
Dalam analisis struktur ada berbagai macam sistem struktur yaitu:
A. Sistem rangka batang 2 dimensi (plane truss system)
B. Sistem rangka batang 3 dimensi (space truss sytem)
C. Sistem portal 2 dimensi (plane frame sytem)
D. Sistem balok silang (grid sytem)
E. Sistem portal 3 dimensi (space frame sytem)

A. Sistem rangka batang 2-dimensi (plane truss system)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yangdirangkai dalam bidang datar, dengan sambungan antar ujung-ujung batangdiasumsikan "sendi sempurna". Beban luar yang bekerja harus berada di titik-titik buhul(titik sambungan) dengan arah sembarang namun harus sebidang dengan bidangstruktur tersebut. Posisi tumpuan, yang dapat berupa sendi atau rol, juga harus beradapada titik-titik buhul. Berdasarkan pertimbangan stabilitas struktur, bentuk dasar darirangkaian batang-batang tersebut umumnya adalah berupa bentuk segitiga. Apabilasemua persyaratan tersebut dipenuhi maka dapat dijamin bahwa semua elemen-elemenpembentuk sistem rangka batang 2 dimensi(plane truss system) tersebut hanya akanmengalami gaya aksial desak atau tarik.
Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistemrangka batang 2 dimensi antara lain adalah: struktur kuda-kuda, penyangga atapbangunan dan struktur jernbatan rangka

B. Sistem rangka batang 3 dimensi ( space truss system)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yangdirangkai dalam ruang 3-dimensi, dengan sambungan antar ujung-ujung batangdiasumsikan "sendi sernpurna". Beban luar yang bekeoa harus berada di titik-titik buhul(titik sambungan) dengan arah sembarang dalam ruang 3 dimensi. Posisi tumpuan, yanglazimnya berupa sendi, juga harus berada pada titik-titik buhul. Berdasarkanpertimbangan stabilitas struktur, bentuk dasar dari rangkaian batang-batang tersebutumumnya adalah berupa be~ntuk segitiga.
Apabila semua persyaratan tersebut dipenuhimaka dapat dijamin bahwa semua elemen-elemen pembentuk sistern rangka batang 3dimensi (space truss system) tersebut hanya akan mengalarni gaya aksial desak atau tarik

Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistemrangka batang 3 dimensi antara lain adalah: struktur kuda-kuda penyangga atapbangunan yang relatif luas (misainya stadion, convention hall, mall, dan hanggarpesawat terbang), struktur jembatan rangka berbentang panjang, menara-menaratransmisi listrik tegangan tinggi, dan menara-menara telekomunikasi / pemancar televisi / radio.
C. Sistem portal 2 dimensi (plane frame sytem)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yangdirangkai dalarn bidang datar, dengan sambungan antar ujung-ujung batangdiasumsikan "kaku sempurna" namun dapat berpindah tempat dalam bidang strukturnyadan dapat berputar dengan sumbu putar yang tegak lurus bidang struktur tersehut
Beban luar yang bekerja boleh berada di titik-titik buhul maupun pada titik-titik disepanjang-batang dengan arah sembarang namun harus sebidang dengan bidang strukturtersebut. Posisi tumpuan, yang dapat berupa jepit, sendi, atau rol, juga harus beradapada titik-titik buhul. Mengingat sambungan antar ujung-ujung batang adalah kakusempurna yang dapat menjamin stabilitas elemen, maka sistern portal 2 dimensi inimeskipun lazimnya mendekati bentuk-bentuk segi-empat, namun pada prinsipnya bolehberbentuk sembarang dan tidak memerlukan bentuk dasar segitiga seperti halnya padasistem rangka batang 2 dimensi. Elemen-elemen pembentuk sistem portal 2 dimensi (plane frame system) tersebut akan dapat mengalami gaya-gaya dalam (internal forces) berupa: gaya aksial (desak atau tarik), momen lentur (bending moment),dan gaya geser

Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistemn portal2 dimensi ( plane frame system) antara lain adalah: struktur portal-portal gedungberlantai banyak, struktur portal bangunan-bangunan industri/pabrik/gudang, dan jembatan-jembatan balok menerus statis tak tentu. Khusus pada sistem balok menerus,apabila beban yang bekerja, didominasi oleh gaya-gaya yang berarah tegak lurus sumbubatang, maka gaya aksial pada batang relatif kecil atau bahkan tidak terjadi, dangaya-gaya dalam yang diperhitungkan dialami oleh elemen hanya berupa momen lenturdan gaya geser saja
D. Sistem ballok sillang ( grid sytem)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yangdirangkai dalarn bidang datar, dengan sambungan antar ujung-ujung batangdiasumsikan "kaku sernpurna" namun dapat berpindah tempat dalam arah tegak lurusbidang struktumya, dan dapat berputar. Beban luar yang bekerja boleh berada dititik-titik buhul maupun pada titik-titik di sepanjang batang dengan arah harus tegak lurus
terhadap bidang struktur tersebut. Posisi turnpuan, yang dapat berupa jepit atausendi, juga. harus berada pada titiktitik buhul. Mengingat sambungan antar ujung-ujungbatang adalah kaku sernpurna yang dapat menjamin stabilitas elemen, maka sisternbalok silang ini meskipun lazimnya mendekati bentuk-bentuk segi empat, namun padaprinsipnya boleh berbentuk sernbarang. Elemen-elemen pembentuk sistern balok silang(grid system)tersebut akan dapat mengalami gaya-gaya dalam(internal forces)berupa:momen lentur(bending mornent),momen torsi(torsionai moment)dan gaya geser.
Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sisternbalok silang antara lain adalah: struktur penyangga lantai-lantai bangunan bertingkatbanyak, struktur bangunan industri, struktur jembatan, dan struktur dermaga

E. Sistem portal 3-dimensi ( space frame system)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yangdirangkai dalam ruang 3 dimensi, dengan sambungan antar ujung-ujung batangdiasumsikan "kaku sempurna" namun dapat berpindah tempat dan berputar dalam ruang3-dimensi. Beban luar yang bekerja boleh berada di titik-titik buhul maupun padatitik-titik di sepanjang batang dengan arah sembarang. Posisi tunipuan, yang dapatberupa jepit atau sendi, harus berada pada titik-titik buhul. Mengingat sambungan antarujung-ujung. batang adalah kaku sempurna yang dapat menjamin stabilitas elemen,maka sistem portal 3-dimensi ini meskipun lazimnya mendekati bentuk-bentuk segi-empat, namun pada prinsipnya boleh berbentuk sembarang. Elemen-elemen pern-bentuk sistem portal 3-dimensi (space frame system) tersebut akan dapat mengalamigaya-gaya dalarn (intemal forces) berupa: momen lentur (bending moment ) dalam 2 arah sumbu putar, mornen torsi (torsional mornent), gaya geser dalam 2 arah, dan gaya aksial.
Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistemportal 3 dimensi antara lain adalah: struktur portal gedung bertingkat banyak, strukturbangunan industri/pabrik, struktur jernbatan berbentang panjang, struktur dermaga, dansejenisnya, yang ditinjau secara 3 dimensi